سيستمهاي ديناميكي غيرخطي و تئوري آشوب

براي درك سيستم ديناميكي بايستي بر شرايط اوليه حاكم بر سيستم و شرايط مرزي آن احاطه داشت. اگر تعداد حالتها در حين تحول سيستم تغيير نكند، سيستم را بسته(Thermostated system) و در غير اين صورت، سيستم را باز(open system) در نظر مي­گيرند.

سيستمهاي ديناميكي را با توجه به رابطه­اي كه ميان پارامتر سرعت و موقعيت در آنها وجود دارد، به دو گروه تقسيم مي­نمايند:

1 - سيستمهاي ديناميكي خطي: سيستمهايي كه در آنها يك رابطه خطي ميان سرعت و موقعيت برقرار مي­شود، سيستمهاي خطي به شمار مي­آيند. تكامل تدريجي سيستمهاي ديناميكي خطي نيز فرآيندي خطي است. اگر دو جواب براي سيستم خطي داشته باشيم مجموع آنها نيز يك جواب براي سيستم است. هم چنين سيستمهاي خطي از اين قابليت برخوردار هستند كه آنها را مي­توان با تجزيه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسي قرار داده و سپس با جمع بندي نتايج، به تحليل كلي آنها اقدام كرد و اين از جمله مواردي است كه تحليل سيستمهاي خطي را آسان مي­سازد (مانند آناليز فوريه، مباحث برهم نهي و ...). در نهايت مي­توان گفت كه تجزيه و تحليل معادلات مربوط به اين سيستمها شناخته شده است. 

2- سيستمهاي ديناميكي غيرخطي: در سيستمهاي ديناميكي غيرخطي رابطه ميان سرعت و موقعيت غيرخطي مي­باشد. در چنين سيستمي اگر دو جواب داشته باشيم مجموع آنها جواب ديگر سيستم نمي­باشد. سيستم ديناميكي غيرخطي را نمي توان به اجزا كوچكتر تقسيم نموده و هر يك را جداگانه حل كرد، بلكه بايد كل سيستم را با هم و يكجا مطالعه و بررسي كرد (براي مثال، وقتي كه قسمتهايي از يك سيستم تداخل مي­كنند يا با هم كار مي­كنند يك برهمكنش غيرخطي اتفاق مي­افتد و اصل برهم نهي شكست مي­خورد). پس مي­توان گفت كه معادلات مربوط به تحول در اين سيستمها حل تحليلي ندارند و يا حل تحليلي آنها بسيار مشكل است. براي تجزيه و تحليل چنين معادلاتي، ديناميك غيرخطي كه در سه بعد منجر به آشوب مي­گردد مورد استفاده قرار مي­گيرد؛ از اينرو براي تحليل سيستمهاي غيرخطي آشنايي با يك سري مفاهيم اوليه مانند: نقاط ثابت(fixed points) و دو شاخه شدنها(bifurcations) (در يك بعد)، سيكلهاي محدود(limit cycles) (در دو بعد) و فراكتالها يعني اشكالي با ابعاد غير صحيح (در سه بعد) لازم است. اين مفاهيم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سيستمهاي ديناميكي غيرخطي را مي­توان به دو طريق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتي كه تحول در سيستم نسبت به زمان به صورت پيوسته باشد از معادله ديفرانسيل استفاده مي­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ ميرا يا معادله گرما؛ اما اگر سيستم به صورت گسسته با زمان تحول يابد، به عبارت ديگر در صورتي كه زمان به عنوان عامل جداگانه­اي در نظر گرفته شود سيستم در قالب نگاشتهاي تكرار(Iterated maps) مطالعه مي­گردد، مانند نگاشت لجستيك(Logistic map).

مطالعه سيستمهاي ديناميكي غيرخطي هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسياري از علوم از جمله در: فيزيك، نجوم، رياضيات، بيولوژي، شيمي، اقتصاد، علوم كامپيوتر، هواشناسي و علوم پزشكي مي­باشد.

فضاي فاز:

فضاي فاز با كمك مكان (x1) و سرعت (x2) رسم مي­گردد، لذا مي­توان گفت كه مجموعه جوابهايي به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر يك نقطه در حال حركت در روي منحني (يعني مسير(Trajectory) سيستم) در اين فضا (شكل زير) خواهند بود.

بايد دانست كه به ازاي شرايط اوليه متفاوت، فضاي فاز كاملا با مسيرها پوشانده شده لذا هر نقطه­اي را مي­توان به عنوان نقطه اوليه در نظر گرفت. هدف ما اين است كه عكس اين ساختار را طي كنيم يعني مسيرها را رسم كرده و بدين وسيله اطلاعات مربوط به جوابها را استخراج نماييم.

فضاي فاز مربوط به يك سيستم n ذره­اي فضايي است متشكل از 6n پايه­هاي مختصاتي كه 3n پايه آن مربوط به مكان و 3n پايه ديگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضاي فاز داراي 6n مختصه مي­باشد كه به تنهايي براي توصيف وضعيت سيستم كافي است. وجود ثوابت ابعاد فضاي فاز را كاهش مي­دهد. از حركت يك نقطه در فضاي فاز مسيرهاي فضاي فاز پديد مي­آيند. در حالت كلي، مجموعه مسيرهاي فضاي فاز حجمي 6n بعدي را در فضاي فاز اشغال مي­كنند. البته بايد دانست كه به دليل يكتايي حركت ذره كلاسيكي، مسيرها در فضاي فاز يكديگر را قطع نمي­كنند. در نتيجه مي­توان گفت كه فضاي فاز مجموعه­اي از حالات ممكن يك سيستم ديناميكي است. يك حالت ويژه و مشخص در فضاي فاز سيستم را به طور كامل مشخص مي­كند و اين تمام آن چيزي است كه در مورد شناخت كاملي از آينده نزديك سيستم مورد نظر، مورد نياز مي­باشد. به عنوان مثال، فضاي فاز يك آونگ، صفحه­اي دو بعدي شامل موقعيت (زاويه) و سرعت است و مطابق با قوانين نيوتن تعيين اين دو متغير به طور مجزا، حركت بعدي آونگ را در زمانهاي بعدي مشخص مي­كند.

حال اگر يك سيستم غيرمستقل وجود داشته باشد كه ميــدان برداري آن (يك معادله ديفــرانسيل به عنوان يك ميــدان برداري معرفي مي­شود) به طور صريح به زمــان بستگي داشته باشد، در آن صورت طبق تعــريف فضاي فــاز بايد زمان را به عنوان يك مختصه فضاي فــاز در نظــر گرفت زيرا براي تعيين حركت در زمان بعدي، يك زمان ويژه بايد معلوم باشد. مسيــر در فضاي فاز مي تواند به صورت يك مدار و يا يك منحني باشد در حالي كه در سيستمي كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت يك ســري از نقاط مي­باشد.