4- آشــوب(chaos): «آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بي­نظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برمي­گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) مي­باشد. به نظر او كائوس، بي­نظمي و ماده بي­شكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود.

.

از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهــا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيشگويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي توانيم آينــده را هم با همين دقت پيشگويي كنيم. اين باور هم چنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوما در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوما عدم قطعيت كاهش نمي­يابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــا اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

بايد دانست كه تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح مي­باشد:

« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان مي­دهد»:

Chaos is aperiodic long-term behavior in a deterministic system dependence on initial conditions.

 

a – منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستمهاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بي­نهايت ميل مي­كند، مسير اين سيستمها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نمي­شوند.

b – دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا ورودي­هاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستمها از غيرخطي بودن ناشي مي­شود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار مي­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­اي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.

c - منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستمهاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا مي­شوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستمهاي ديناميكي آشوبناك با سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك است. در سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازه­گيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا مي­كند در حالي كه در سيستمهاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مي­يابد.

 

محيط عمل پديده آشـوب، سيستمهاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص مي­كند. يك سيستم ديناميكي مي تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه ­تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگهاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگهاي آن مي­باشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بي­نهــايت است.

 

 

5- جــذب كننــده­ها (strange attractors): يك جذب كننده مجموعه­اي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا ... همگرا مي­شوند.  نوع ديگري از جذب كننده­ها وجود دارند كه آنها را جذب كننده­هاي عجيب(Strange attractors) مي­نامند. جذب كننده­هاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آنها «عجيب» گفته مي­شود چون متشكل از مجموعه­اي فراكتال هستند (فراكتال يعني مجموعه­اي از نقاط با حجم صفر و سطح نامحدود).

در ادامه، براي مرور تعاريف ارائه شده نگاشت لورنتس و جذب كننده عجيب كه براي اولين بار توسط وي به دست آمد، پرداخته مي­شود.

 

6- معــادلات لورنتــس (Lorentz equations): ادوارد لورنتس، رياضيدان و هواشناس امريكايي، نخستين شخصي است كه در مورد آشوب مقاله نوشته و كاشف جذب كننده هاي عجيب در 1963 ميلادي مي­باشد.

.

معادلات غيرخطي زير كه به معادلات لورنتس معروفند، نحوه تغيير سرعت سيال را نشان مي­دهند. زماني كه او در 1961 ميلادي با رايانه­اش به شبيه­ سازي آب و هوا مي­پرداخت، متوجه حساسيت شديد معادلات به شرايط اوليه شد. او كشف كرد كه تغييرات ناچيز در پارامترهاي اوليه آب و هوا منجر به الگوهاي متفاوتي مي­شوند:

.

x = s (y - x)

y = r x – y – x z

.

z = x y – b z

در اين معادلات، x(t) بيانگر سرعت سيال (هوا)، y(t) و z(t) نيز بيانگر ابعاد فضايي سيال هستند. σ را «عــدد پرنتــل (Prandtle number)» نامند كه نشان دهنده نسبت چگالي به هدايت گرمايي است. r ، «عــدد ريلــي (Rayleigh number)» نام دارد كه اختلاف دمايي بين سطح بالايي و پاييني قسمت مورد نظر را نشان مي­دهد. b نيز نام بخصوصي نداشته و بيانگر نسبت درازا به پهنا مي­باشد (σ , r , b > 0).

نگاشتهاي معرفي شده توسط لورنتس، نگاشتهاي غيرخطي هستند كه توسط دو جمله xy و yz غيرخطي شده­اند. اين نگاشتها نسبت به تبديل زير داراي تقارن هستند:

(x(t) , y(t) , z(t)) → (-x(t) , -y(t) , -z(t))    

اكنون مي­توان گفت كه نگاشت لورنتــس، مدل ســاده شده­اي از نحوه حركت سيــال در سه بعــد است. با رسم نگاشتها در فضاي فــاز به ازاي مقاديــر مختلف σ، r و b، لورنتــس متوجه شــد كه جوابها به طور نامنظم نوســان مي­كنند و هرگز تكــرار نمي­شوند اما همــواره در يك ناحيه محدود از فضاي فــاز باقي مي­مانند. مسيــرهاي رسم شده در اين فضــا، دو مجموعه درهم بافته را به خود اختصاص مي­دهند كه به آنها جــذب كننده­هاي عجيب گويند. بايد دانست كه جذب كننده­هاي عجيب با نقاط ثابت يا حلقه هاي محدود يكسان نيستند. در واقع جذب كننده عجيب، يك نقطه يا يك مسير در فضاي فــاز نيست و نمي تــوان به آن عنــوان يك سطح را داد، بلكه بايد آن را فراكتــال ناميد كه داراي بعد كسري بين 2 و 3 است. در پيش بيني رفتــار سيستــم در دراز مدت او نشــان داد كه به ازاي محــدوده وسيعي از پارامتــرهاي نگاشــت نمي­توان شاهد نقــاط ثابت پايدار يا حلقه­هاي محدود بود. لورنتس براي مطالعه سيستم خــود در طولاني مدت، از انتگرالهاي عــددي استفاده كرد. او حالت خاصي را با مقادير زير برگزيــد:

s = 10 , b = 8/3 , r = 28 .

با انتخاب نقطه­اي نزديك به مبدا: (0,1,0) به عنوان شرط اوليــه مطالعه خود را آغاز نموده و متوجه شد كه جوابهــا مخصوصا در t → ∞ داراي نوســانهاي غيريكســان است كه تكــرار نمي­شوند و به آنها غيرپريوديك مي­گويند. او كشف كرد كه اگر جوابهــا به صورت يك مسيــر در فضاي فاز تصور شوند ساختــار عجيبي تشكيل مي­دهنــد و با رسم نمــودار x(t) و z(t) در يك صفحه، مي­توان شاهد بود كه يك شكل پروانه­اي به دست مي­آيد (شكل اولي). اين شكل نه سطح و نه نقطه است و بُعد آن نيز كسري مي­باشد. ديده مي­شود كه مسيرها به طور مكرر همديگر را قطع مي­كنند، اما فقط در دو بعد بدين گونه است و در سه بُعد، مسيرها به هيچ وجه همديگر را قطع نمي­نمايند (شكل دومي).