7- نمــاي ليــاپانوف(Lyapunov exponent): نماي لياپانوف توسط « ليــاپانوف» رياضيدان روسي در سال 1892 ميلادي براي كنتــرل پايداري معادلات ديفرانسيــل غيرخطي مورد استفاده قرار گرفت. اين روش امكان مطالعه پايداري معادلات ديفرانسيل را بدون حل آنها امكانپذيــر مي­سازد. با توجه به اين كه براي مطالعه يك سيستم ديناميكي غيرخطي ضروري است كه آن را توسط نگاشتــها مورد مطالعه قرار داد، به توصيف نماي لياپانوف كه مطالعه رفتار سيستمها توسط نگاشت را به صورت عددي ميسر مي­سازد، پرداخته مي­شود.

براي اين كه يك سيستم را بي­نظم بناميم بايد نشان دهيم كه سيستم وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد يعني اين كه دو مسير كه خيلي نزديك به هم شروع مي­شوند خيلي سريع به طور نمايي از هم واگرا شده و آينده متفاوتي پيدا مي­كنند. گفته شد كه وابستگي حساس معادلات ديفرانسيل بي­نظم با نماي لياپانوف تعريف مي­گردد، اكنون اين تعريف را براي نگاشتهاي يك بعدي بسط مي­دهيم.

فرض مي­كنيم x₀ نقطه­اي در لحظه t در روي يك مسير و x₀ + d₀ نقطه­اي نزديك به آن در روي مسير ديگر مي­باشد كه d₀ بي­نهايت كوچك بوده و معرف ميزان اوليه جدايي اين دو نقطه است.  

اگر ميزان جدايي اين دو نقطه بعد از n تكرار(Iteration) توسط d_n نمايش شود و رابطه­اي به صورت

     =|d₀|exp(λⁿ) |d_n| مابين اين دو نقطه برقرار كنيم. در اين صورت مي توان λ  را به عنوان نماي لياپانوف معرفي كرد.

 

a - با مثبت شدن مقدار λ فاصله دو نقطه در فضاي فاز با نگاشتهاي مكرر، به صورت نمايي افزايش مي­يابد، يعني سيستم به سمت آشوبناك شدن ميل پيدا مي­كند.

b - با منفي شدن مقدار λ مي­توان دريافت كه نقطه ثابت، رفتار پايداري را از خود نشان مي­دهد، يعني سيستم به حالت پايدار مي­رسد.

c - شرط  λ = 0 نيز معرف حالت حاشيه­اي است.

 

با استناد به رابطه بالا ونيز با لگاريتم گرفتن و انجام يك سري اعمال رياضي، نماي لياپانوف در نهايت به صورت رابطه زير به دست مي آيد:

l = (1/n) S Ln |f '(x_i)|

عبارت به دست آمده زمانی که مخرج کسر به سمت صفر میل کند دارای حدی است که آن را نمای لیاپانوف می نامند.

 

8- فراكتــالها (fractals): گفته شد كه جوابهاي معادلات لورنتس، به مجموعه پيچيده­اي در فضاي فاز منجر مي­شوند كه جذب كننده­هاي عجيب نام دارند. براي اين كه بتوان چنين جوابهايي را توصيف كرد از فراكتالها كمك گرفته مي­شود. فراكتالها، شكلهاي هندسي پيچيده­اي با ساختاري در مقياسهاي كوچك بوده و داراي خاصيت خودمتشابهي(Self-similarity) هستند يعني اگر قسمت كوچكي از فراكتالها را بزرگ كنيم، ساختاري درست شبيه به ساختار كل مجموعه خواهد داشت. فراكتالها به دليل ساختار زيبا، پيچيده و بي پايانشان، بسيار جالب هستند. آنها يادآور اجسام طبيعي مانند ابرها، كوهها، شبكه رگهاي خون و ... مي­باشند. نمونه­اي از فراكتالها در شكلهای زير نشان داده شده است:

 

 

 

آشوب - جذب کننده ها - معادلات لورنتس -

4- آشــوب(chaos): «آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بي­نظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برمي­گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) مي­باشد. به نظر او كائوس، بي­نظمي و ماده بي­شكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود.

.

از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهــا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيشگويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي توانيم آينــده را هم با همين دقت پيشگويي كنيم. اين باور هم چنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوما در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوما عدم قطعيت كاهش نمي­يابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــا اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

بايد دانست كه تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح مي­باشد:

« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان مي­دهد»:

Chaos is aperiodic long-term behavior in a deterministic system dependence on initial conditions.

 

a – منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستمهاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بي­نهايت ميل مي­كند، مسير اين سيستمها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نمي­شوند.

b – دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا ورودي­هاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستمها از غيرخطي بودن ناشي مي­شود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار مي­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­اي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.

c - منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستمهاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا مي­شوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستمهاي ديناميكي آشوبناك با سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك است. در سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازه­گيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا مي­كند در حالي كه در سيستمهاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مي­يابد.

 

محيط عمل پديده آشـوب، سيستمهاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص مي­كند. يك سيستم ديناميكي مي تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه ­تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگهاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگهاي آن مي­باشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بي­نهــايت است.

 

 

5- جــذب كننــده­ها (strange attractors): يك جذب كننده مجموعه­اي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا ... همگرا مي­شوند.  نوع ديگري از جذب كننده­ها وجود دارند كه آنها را جذب كننده­هاي عجيب(Strange attractors) مي­نامند. جذب كننده­هاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آنها «عجيب» گفته مي­شود چون متشكل از مجموعه­اي فراكتال هستند (فراكتال يعني مجموعه­اي از نقاط با حجم صفر و سطح نامحدود).

در ادامه، براي مرور تعاريف ارائه شده نگاشت لورنتس و جذب كننده عجيب كه براي اولين بار توسط وي به دست آمد، پرداخته مي­شود.

 

6- معــادلات لورنتــس (Lorentz equations): ادوارد لورنتس، رياضيدان و هواشناس امريكايي، نخستين شخصي است كه در مورد آشوب مقاله نوشته و كاشف جذب كننده هاي عجيب در 1963 ميلادي مي­باشد.

.

معادلات غيرخطي زير كه به معادلات لورنتس معروفند، نحوه تغيير سرعت سيال را نشان مي­دهند. زماني كه او در 1961 ميلادي با رايانه­اش به شبيه­ سازي آب و هوا مي­پرداخت، متوجه حساسيت شديد معادلات به شرايط اوليه شد. او كشف كرد كه تغييرات ناچيز در پارامترهاي اوليه آب و هوا منجر به الگوهاي متفاوتي مي­شوند:

.

x = s (y - x)

y = r x – y – x z

.

z = x y – b z

در اين معادلات، x(t) بيانگر سرعت سيال (هوا)، y(t) و z(t) نيز بيانگر ابعاد فضايي سيال هستند. σ را «عــدد پرنتــل (Prandtle number)» نامند كه نشان دهنده نسبت چگالي به هدايت گرمايي است. r ، «عــدد ريلــي (Rayleigh number)» نام دارد كه اختلاف دمايي بين سطح بالايي و پاييني قسمت مورد نظر را نشان مي­دهد. b نيز نام بخصوصي نداشته و بيانگر نسبت درازا به پهنا مي­باشد (σ , r , b > 0).

نگاشتهاي معرفي شده توسط لورنتس، نگاشتهاي غيرخطي هستند كه توسط دو جمله xy و yz غيرخطي شده­اند. اين نگاشتها نسبت به تبديل زير داراي تقارن هستند:

(x(t) , y(t) , z(t)) → (-x(t) , -y(t) , -z(t))    

اكنون مي­توان گفت كه نگاشت لورنتــس، مدل ســاده شده­اي از نحوه حركت سيــال در سه بعــد است. با رسم نگاشتها در فضاي فــاز به ازاي مقاديــر مختلف σ، r و b، لورنتــس متوجه شــد كه جوابها به طور نامنظم نوســان مي­كنند و هرگز تكــرار نمي­شوند اما همــواره در يك ناحيه محدود از فضاي فــاز باقي مي­مانند. مسيــرهاي رسم شده در اين فضــا، دو مجموعه درهم بافته را به خود اختصاص مي­دهند كه به آنها جــذب كننده­هاي عجيب گويند. بايد دانست كه جذب كننده­هاي عجيب با نقاط ثابت يا حلقه هاي محدود يكسان نيستند. در واقع جذب كننده عجيب، يك نقطه يا يك مسير در فضاي فــاز نيست و نمي تــوان به آن عنــوان يك سطح را داد، بلكه بايد آن را فراكتــال ناميد كه داراي بعد كسري بين 2 و 3 است. در پيش بيني رفتــار سيستــم در دراز مدت او نشــان داد كه به ازاي محــدوده وسيعي از پارامتــرهاي نگاشــت نمي­توان شاهد نقــاط ثابت پايدار يا حلقه­هاي محدود بود. لورنتس براي مطالعه سيستم خــود در طولاني مدت، از انتگرالهاي عــددي استفاده كرد. او حالت خاصي را با مقادير زير برگزيــد:

s = 10 , b = 8/3 , r = 28 .

با انتخاب نقطه­اي نزديك به مبدا: (0,1,0) به عنوان شرط اوليــه مطالعه خود را آغاز نموده و متوجه شد كه جوابهــا مخصوصا در t → ∞ داراي نوســانهاي غيريكســان است كه تكــرار نمي­شوند و به آنها غيرپريوديك مي­گويند. او كشف كرد كه اگر جوابهــا به صورت يك مسيــر در فضاي فاز تصور شوند ساختــار عجيبي تشكيل مي­دهنــد و با رسم نمــودار x(t) و z(t) در يك صفحه، مي­توان شاهد بود كه يك شكل پروانه­اي به دست مي­آيد (شكل اولي). اين شكل نه سطح و نه نقطه است و بُعد آن نيز كسري مي­باشد. ديده مي­شود كه مسيرها به طور مكرر همديگر را قطع مي­كنند، اما فقط در دو بعد بدين گونه است و در سه بُعد، مسيرها به هيچ وجه همديگر را قطع نمي­نمايند (شكل دومي).

 

 

نگاشتهای تکرار - مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي

نگاشتــهاي تكــرار (Iterated maps):

از آنجا كه توصيف سيستمهاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشتهاي تكرار صورت مي­پذيرد، در اين نوع سيستمها رابطه­اي به صورت x_n+1=F(x_n) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب مي­كند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار مي­دهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از F : R → R كه R مجموعه­اي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار O(x₀) از نقاطx₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف مي­شود: O(x₀)=(x₀, F²(x₀), F³(x₀),…) .

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن x_n = Fⁿ(x₀) ، به صورت معادله x_n+1 = F(x_n)  بيان مي­گردد. مي­توان نگاشتها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و ...) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و ...) طبقه بندي كرد.

 

مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي:

وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مي­يابد، در هر مرحله پديده­هاي جديدي اتفاق مي­افتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقه­هاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار مي­گيرند_:

 

1-  نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت مي­توان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار مي­آيد: F(x^*) = x^* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق مي­توان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطه­اي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x)  به وجود مي­آيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x^*) = x^* بدين صورت عمل مي­شود:

x^* = r x^* (1 – x^*)                                                                 

با تعيين ريشه­هاي معادله مي­توان دريافت كه نقاط ثابت نگاشت لجستيك عبارتند از: x^* = 0 ,  x^* = 1 – (1/r) .

 

نقاط ثابت براساس پايداري آنها به چهار گروه تقسيم مي­شوند:

1.      اگر:|F'(x^*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x^* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است. اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مي­نامند.

2.      اگر:|F'(x^*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x^* ناپايدار(Unstable fixed point) است. به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز مي­گويند.

3.      اگر:|F'(x^*)| = 1 باشد گويند نقطه x^* ، نقطه ثابت حاشيه­اي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) مي­باشد.

4.      نقاطي كه در آنها شرط |F'(x^*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده مي­شوند.

 

2- دوشــاخه­ شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت مي­توانند خلق يا نابود شوند  يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته مي­شود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت مي­گيرد.

براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي مي­توان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:

 

 الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم مي­گردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطه­هاي زير تبعيت مي­كنند رخ مي­دهد: dx/dt = r + x² , dx/dt = r – x² .

نمودار براي معادله اول:

ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير مي­كند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت مي­كنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x²

ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول مي­باشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادله­اي به يكي از دو صورت زير است:

 

                a - حالت اول، دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x³ نشان داده مي­شود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا مي­باشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.

               b - حالت دوم، دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x³ مشخص مي­گردد.

 

 3- حلقــه­هاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقه­هاي محدود گفته مي­شود. مسيرهاي مجاور به حلقه­هاي محدود، يا به آنها ختم مي­شوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور مي­گردند كه آنها را ناپايدار مي­نامند و در شرايط خاصي نيز به حلقه­هاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته مي­شود. 

حلقه­هاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل مي­دهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان مي­كنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....

حلقه­هاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل مي­گيرند و نمي­توان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقه­هاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل مي­گيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.

معمولا مشخص كردن حلقه­هاي محدود وابسته به يك سيستم كار ساده­اي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقه­هاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطه­اي مانند رابطه dx/dt = -VV  تشكيل داد، نمي­توان شاهد تشكيل حلقه­هاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نمي­توان شاهد تشكيل حلقه­هاي محدود بود.