7- تحليل سريهاي زماني (Time Series Analysis)

مقدمه :
آينده از آن كساني است كه به نحو مناسبي براي آن برنامه‌ريزي كنند. هر تاجر، مؤسسه يا سازمان موفقي بايد با توجه به پيش‌بيني وضع آينده،‌برنامه‌ريزي‌هاي لازم را به انجام رسانند. براي اين منظور روشهاي متعددي وجود دارد. اين روشها مي‌تواند تجارب گذشته را به پيش‌بيني حوادث آينده بدل سازد. بعنوان مثال، مدير خريد يك فروشگاه بزرگ مي‌تواند تجارب گذشته را مورد استفاده قرار دهد تا تصميم‌گيري كند كه چه موقع و به چه ميزان كالا خريداري نمايد و يا شركت برق مي‌تواند بر اين باور باشد كه تقاضا براي نيروي برق با نرخ مشابهي همچون 10 سال گذشته افزايش خواهد يافت و درنتيجه ظرفيت توليدي مورد نياز خود را براي 5، 10 و يا 20 سال آينده پيش‌بيني كند. 

در هر مورد آمار مربوط به متغيري كه پيش‌بيني مي‌شود در دوره‌هاي زماني گذشته موجود است. اين آمار را اصطلاحاَ سري زماني مي‌گويند. منظور از يك سري زماني مجموعه‌اي از داده‌هاي آماري است كه در فواصل زماني مساوي و منظمي جمع‌آوري شده باشند. روشهاي آماري كه اين گونه داده‌هاي آماري را مورد استفاده قرار مي‌هد تحليل سريهاي زماني ناميده مي‌شود.

اجزاء تشكيل دهندة سري زماني :

مي‌توان نمودار خطي مربوط به سري زماني را با قرار دادن زمان بر روي محور افقي و متغير مورد نظر بر روي محور عمودي رسم كرد. شكل زير نمودار خطي مربوط به يك سري زماني را بصورت كلي نشان مي‌دهد.

نوع دیگر تغييرات كه نمي‌تواند بنحو مؤثر و منظمي بر روي نمودار نشان داده شود، تغييرات پسماند يا نامنظم است. اين تغييرات همان طور كه از نامش پيداست تغييراتي است كه پس از در نظر گرفتن تغييرات مربوط به روند بلند مدت، ادوار تجاري و نوسانات فصلي باقي مانده است. تغييرات نامنظم يا توسط عوامل تصادفي همچوا اعتصابات، بروز مصائب طبيعي و از اين قبيل ايجاد مي‌شود و يا بر اثر خطاي گرد كردن اعداد در هنگام جمع‌آوري آمار بوجود مي‌آيد.

برآورد اجزاء تشكيل دهندة سري زماني :

سري زماني داراي چهار جزء روند بلند مدت T ادوار تجاري C نوسانات فصليS و تغييرات نامنظمR  است. يك سري زماني مشخص ممكن است از هر چهار جزء و يا فقط برخي از اين اجزاء تشكيل شده باشد. يك سري زماني مشاهده شده را به اجزاء تشكيل دهندة آن تجزيه مي‌كنيم.

مدلهاي سري زماني :

مدل كلاسيك سري زماني فرض را بر اين مي‌گذارد كه مقادير سري زماني مشاهده شدهA تركيبي ازC,T,S,R 
است. در مورد چگونگي فرم تركيب معمولاً دو نوع مدل خاص مورد استفاده قرار مي‌گيرد. اولين مدل عبارت از مدلي است كه در آن مقادير مشاهده شده سري زماني معادل حاصل جمع اجزاء تشكيل دهنده آن تلقي مي‌شود :

A=T+C+S+R
دومين مدل عبارت از مدلي است كه در آن مقدار مشاهده شده سري زماني معادل حاصلضرب اجزاء تشكيل دهنده آن تلقي مي‌شود.

6- سری های زمانی

سری های زمانی یکی از شاخه های آمار و احتمال است که در سایر رشته های علوم مانند ژئوفیزیک، اقتصاد، مهندسی ارتباطات، هواشناسی، فیزیک، زمین شناسی و ... کاربرد فراوانی دارد؛ دامنه کاربردهای سری های زمانی روز به روز گسترده تر می شود و نیاز دانش پژوهان در این زمینه افزون تر می گردد.

سری زمانی را می توان بدین ترتیب تعریف کرد:

« یک سری زمانی مجموعه مشاهداتی است که بر حسب زمان مرتب شده باشند.»

تجزیه و تحلیل سری های زمانی بطور نظری و عملی از زمان شروع کار اصلی جورج.ای.پی. باکس و ام.جنکینس در سال 1970 (تحت عنوان تجزیه و تحلیل سری های زمانی، پیش بینی و کنترل) به سرعت توسعه پیدا نمود.

داده هایی که ازمشاهدات یک پدیده در طول زمان بدست می آیند بسیار متداول هستند، در کسب و کار و اقتصاد، در هواشناسی، در کشاورزی، در علوم بیولوژیکی فهرست زمینه هایی که در آن سری زمانی مشاهده شده و تجزیه و تحلیل می شود بی پایان است.

هدف تجزیه و تحلیل سری های زمانی معمولاً دوتاست:

- درک یا به مدل در آوردن مکانیسم تصادفی که منجر به مشاهده، سری می شود

- پیش بینی مقادیر آینده سری، بر مبنای گذشته آن

در تجزیه و تحلیل یک سری زمانی چندین هدف ممکن وجود دارد. این اهداف را می توانیم به صورت توصیف، تشریح، پیش بینی و کنترل رده بندی کنیم. هر چند توصیف رفتار یک سری زمانی از لحاظ تغییرات موضعی و دراز مدت در آن یا مطالعه وابستگی های موجود بین عناصر سری از بررسی های متداولی است که روی سری های زمانی انجام می شود اما می توان گفت مهم ترین هدف از تحلیل سری زمانی پیش بینی مقادیر آینده آن است.

سوال اساسی این است که برای یک تحلیل سری زمانی و پیش بینی آینده آن چه باید کرد؟

بدیهی است لازمه اتخاذ هر تصمیمی در این مورد آشنایی با رفتار سری به عنوان تابعی از زمان است. ساده ترین راه برای این منظور رسم نمودار سری زمانی است. پیدا کردن الگوهای مناسب برای سری های زمانی کاری است مهم؛ یک استراتژی چند مرحله ای را برای ساختن یک الگو توسعه می دهیم که بوسیله Box و Jenkins (1976) وضع شده است. در این روش سه مرحله عمده وجود دارد که از هریک از آنها ممکن است چندین بار استفاده کنیم:

1- تشخیص یا شناسایی الگو 2- برازش الگو 3- تشخیص درستی الگو

در یک تحلیل سری زمانی اولین مرحله رسم نمودار داده هاست. با امتحان و بررسی دقیق نمودار سری زمانی می توانیم ایده ی خوبی در موزد این که روند، نوسانات فصلی، نقاط پرت و واریانس غیرثابت و ... وجود دارند یا خیر، به دست آوریم.

روش میانگین متحرک

خاصیت روش میانگین متحرک این است که تغییرات موجود در یک مجموعه را کاهش می دهد. در سری های زمانی از این خاصیت برای حذف نوسانات غیرضروری استفاده می شود. عیب روش میانگین متحرک حذف شدن بعضی از مشاهدات از ابتدا و انتهای سری زمانی است. یک عیب دیگر این است که ممکن است باعث تغییرات دوره ای یا سایر تغییرات شود که در داده های اولیه وجود نداشته اند. عیب سوم میانگین متحرک این است به شدت تحت تأثیر ماکسیمم و مینیمم مشاهدات قرار دارد. برای رفع این عیب از میانگین متحرک موزون می توان استفاده کرد. در این حالت به مشاهدات مرکزی بیشترین وزن و به مشاهدات انتهایی کمترین وزن را می دهند.

5- مفاهيم اوليه در سيستمهاي ديناميكي غـيرخطي (3)

7- نمــاي ليــاپانوف(Lyapunov exponent): نماي لياپانوف توسط « ليــاپانوف» رياضيدان روسي در سال 1892 ميلادي براي كنتــرل پايداري معادلات ديفرانسيــل غيرخطي مورد استفاده قرار گرفت. اين روش امكان مطالعه پايداري معادلات ديفرانسيل را بدون حل آنها امكانپذيــر مي­سازد. با توجه به اين كه براي مطالعه يك سيستم ديناميكي غيرخطي ضروري است كه آن را توسط نگاشتــها مورد مطالعه قرار داد، به توصيف نماي لياپانوف كه مطالعه رفتار سيستمها توسط نگاشت را به صورت عددي ميسر مي­سازد، پرداخته مي­شود.

براي اين كه يك سيستم را بي­نظم بناميم بايد نشان دهيم كه سيستم وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد يعني اين كه دو مسير كه خيلي نزديك به هم شروع مي­شوند خيلي سريع به طور نمايي از هم واگرا شده و آينده متفاوتي پيدا مي­كنند. گفته شد كه وابستگي حساس معادلات ديفرانسيل بي­نظم با نماي لياپانوف تعريف مي­گردد، اكنون اين تعريف را براي نگاشتهاي يك بعدي بسط مي­دهيم.

فرض مي­كنيم x₀ نقطه­اي در لحظه t در روي يك مسير و x₀ + d₀ نقطه­اي نزديك به آن در روي مسير ديگر مي­باشد كه d₀ بي­نهايت كوچك بوده و معرف ميزان اوليه جدايي اين دو نقطه است.  

اگر ميزان جدايي اين دو نقطه بعد از n تكرار(Iteration) توسط d_n نمايش شود و رابطه­اي به صورت

     =|d₀|exp(λⁿ) |d_n| مابين اين دو نقطه برقرار كنيم. در اين صورت مي توان λ  را به عنوان نماي لياپانوف معرفي كرد.

 

a - با مثبت شدن مقدار λ فاصله دو نقطه در فضاي فاز با نگاشتهاي مكرر، به صورت نمايي افزايش مي­يابد، يعني سيستم به سمت آشوبناك شدن ميل پيدا مي­كند.

b - با منفي شدن مقدار λ مي­توان دريافت كه نقطه ثابت، رفتار پايداري را از خود نشان مي­دهد، يعني سيستم به حالت پايدار مي­رسد.

c - شرط  λ = 0 نيز معرف حالت حاشيه­اي است.

 

با استناد به رابطه بالا ونيز با لگاريتم گرفتن و انجام يك سري اعمال رياضي، نماي لياپانوف در نهايت به صورت رابطه زير به دست مي آيد:

l = (1/n) S Ln |f '(x_i)|

عبارت به دست آمده زمانی که مخرج کسر به سمت صفر میل کند دارای حدی است که آن را نمای لیاپانوف می نامند.

 

8- فراكتــالها (fractals): گفته شد كه جوابهاي معادلات لورنتس، به مجموعه پيچيده­اي در فضاي فاز منجر مي­شوند كه جذب كننده­هاي عجيب نام دارند. براي اين كه بتوان چنين جوابهايي را توصيف كرد از فراكتالها كمك گرفته مي­شود. فراكتالها، شكلهاي هندسي پيچيده­اي با ساختاري در مقياسهاي كوچك بوده و داراي خاصيت خودمتشابهي(Self-similarity) هستند يعني اگر قسمت كوچكي از فراكتالها را بزرگ كنيم، ساختاري درست شبيه به ساختار كل مجموعه خواهد داشت. فراكتالها به دليل ساختار زيبا، پيچيده و بي پايانشان، بسيار جالب هستند. آنها يادآور اجسام طبيعي مانند ابرها، كوهها، شبكه رگهاي خون و ... مي­باشند. نمونه­اي از فراكتالها در شكلهای زير نشان داده شده است:

 

 

 

4- مفاهيم اوليه در سيستمهاي ديناميكي غـيرخطي (2)

4- آشــوب(chaos): «آشــوب» در لغت به معناي هرج و مرج و بي­نظمي است. ريشه لغوي آشوب به كلمه رومي «كائــوس» (Kaous) برمي­گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اويــد» (Owid) مي­باشد. به نظر او كائوس، بي­نظمي و ماده بي­شكل اوليه بود كه داراي فضا و بعد نامحدودي بوده، به طوري كه فرض شده است كه قبل از اين كه جهان منظم شكل بگيرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستي، جهان منظم را از آن ايجاد نمود.

.

از لحاظ تاريخي پس از آن كه قوانين نيوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زيادي با تكيه بر قطعيت ذاتي اين قوانين آنهــا را ماشين حساب خدا ناميدند و براي پيشگويي آينــده بر حسب مقادير فعلي كافي دانستند؛ به طور كلي تصور بر اين بود كه اگر وضعيت فعلي را با دقت بالايي بدانيم مي توانيم آينــده را هم با همين دقت پيشگويي كنيم. اين باور هم چنان پا بر جا بود تا اين كه در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــري پوانكاره» در بــررسي و تلاش بــراي حل مسئله سه جسمي متــوجه شد در بعضي موارد اگر دقــت در شــرايط اوليه بالا باشد، لزوما در نتــايج نهــايي عدم قطعيت ناچيز نيست و با كاهش عدم قطعيت در شــرايط اوليه لزوما عدم قطعيت كاهش نمي­يابد. اين مسئله نمودي از رفتــار آشــوبي بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقريبــا اوليــن تحقيقات عدديي كه به معرفي فراگير آشوب انجاميد توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

بايد دانست كه تاكنون تعريف كلي پذيرفته شده براي آشوب ارائه نشده است و تعريف زير از جمله تعاريف پذيرفته شده مطرح مي­باشد:

« آشــوب، يك رفتــار طولاني مدت غيرپريــوديك در يك سيستم دترمينيســتيك است كه وابستـگي حســاس به شــرايط اوليــه را نشان مي­دهد»:

Chaos is aperiodic long-term behavior in a deterministic system dependence on initial conditions.

 

a – منظور از رفتار طولاني مدت غيرپريوديك در سيستمهاي ديناميكي آن است كه مسيرهايي وجود دارند كه وقتي زمان به بي­نهايت ميل مي­كند، مسير اين سيستمها به نقاط ثابت، مدارهاي پريوديك و يا مدارهاي شبه پريوديك منتهي نمي­شوند.

b – دترمينيســتيك گوياي آن است كه سيستم داراي پارامترها يا ورودي­هاي تصادفي(random) نيست ولي رفتار بي نظم اين سيستمها از غيرخطي بودن ناشي مي­شود. اين اصطلاح در مقابل stochastic به كار مي­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­اي، نامعين و غيرقابل پيش بيني بودن رفتار سيستم است.

c - منظور از حساس بودن به شرايط اوليه در سيستمهاي ديناميكي اين است كه مسيرهاي مجاور با سرعت و به طور نمايي از هم جدا مي­شوند. در واقع اين خصوصيت، تفاوت اصلي سيستمهاي ديناميكي آشوبناك با سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك است. در سيستمهاي ديناميكي غير­آشوبناك، اختلاف كوچك اوليه در دو مسير به عنوان خطاي اندازه­گيري بوده و به طور خطي با زمان افزايش پيدا مي­كند در حالي كه در سيستمهاي ديناميكي آشوبناك، اختلاف بين دو مسير با فاصله بسيار اندك همان طوري كه گفته شد، به طور نمايي افزايش مي­يابد.

 

محيط عمل پديده آشـوب، سيستمهاي ديناميكي است. يك سيستم ديناميكي شامل يك فضاي فــاز مجـرد يا حالت فازي است كه مختصاتش، حالت ديناميكي سيستم را با بكارگيري قوانيــن ديناميكي مشخص مي­كند. يك سيستم ديناميكي مي تواند منظم يا آشوبناك باشد. البته سيستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبي يا شبه ­تنــاوبي باشد. سيستم تناوبي تنها شامل يك فركانــس و هماهنگهاي آن است و سيستم شبه تنــاوبي شامل چنــد فركانس و هماهنگهاي آن مي­باشد. در سيستم آشــوبي هيچ تنــاوب غالبي وجود ندارد يعني اين سيستــم داراي دوره تنــاوب بي­نهــايت است.

 

 

5- جــذب كننــده­ها (strange attractors): يك جذب كننده مجموعه­اي از تمام مسيرهايي است كه به سمت يك نقطه ثابت، حلقه محدود يا ... همگرا مي­شوند.  نوع ديگري از جذب كننده­ها وجود دارند كه آنها را جذب كننده­هاي عجيب(Strange attractors) مي­نامند. جذب كننده­هاي عجيب به شدت نسبت به شرايط اوليه حساس هستند و به آنها «عجيب» گفته مي­شود چون متشكل از مجموعه­اي فراكتال هستند (فراكتال يعني مجموعه­اي از نقاط با حجم صفر و سطح نامحدود).

در ادامه، براي مرور تعاريف ارائه شده نگاشت لورنتس و جذب كننده عجيب كه براي اولين بار توسط وي به دست آمد، پرداخته مي­شود.

 

6- معــادلات لورنتــس (Lorentz equations): ادوارد لورنتس، رياضيدان و هواشناس امريكايي، نخستين شخصي است كه در مورد آشوب مقاله نوشته و كاشف جذب كننده هاي عجيب در 1963 ميلادي مي­باشد.

.

معادلات غيرخطي زير كه به معادلات لورنتس معروفند، نحوه تغيير سرعت سيال را نشان مي­دهند. زماني كه او در 1961 ميلادي با رايانه­اش به شبيه­ سازي آب و هوا مي­پرداخت، متوجه حساسيت شديد معادلات به شرايط اوليه شد. او كشف كرد كه تغييرات ناچيز در پارامترهاي اوليه آب و هوا منجر به الگوهاي متفاوتي مي­شوند:

.

x = s (y - x)

y = r x – y – x z

.

z = x y – b z

در اين معادلات، x(t) بيانگر سرعت سيال (هوا)، y(t) و z(t) نيز بيانگر ابعاد فضايي سيال هستند. σ را «عــدد پرنتــل (Prandtle number)» نامند كه نشان دهنده نسبت چگالي به هدايت گرمايي است. r ، «عــدد ريلــي (Rayleigh number)» نام دارد كه اختلاف دمايي بين سطح بالايي و پاييني قسمت مورد نظر را نشان مي­دهد. b نيز نام بخصوصي نداشته و بيانگر نسبت درازا به پهنا مي­باشد (σ , r , b > 0).

نگاشتهاي معرفي شده توسط لورنتس، نگاشتهاي غيرخطي هستند كه توسط دو جمله xy و yz غيرخطي شده­اند. اين نگاشتها نسبت به تبديل زير داراي تقارن هستند:

(x(t) , y(t) , z(t)) → (-x(t) , -y(t) , -z(t))    

اكنون مي­توان گفت كه نگاشت لورنتــس، مدل ســاده شده­اي از نحوه حركت سيــال در سه بعــد است. با رسم نگاشتها در فضاي فــاز به ازاي مقاديــر مختلف σ، r و b، لورنتــس متوجه شــد كه جوابها به طور نامنظم نوســان مي­كنند و هرگز تكــرار نمي­شوند اما همــواره در يك ناحيه محدود از فضاي فــاز باقي مي­مانند. مسيــرهاي رسم شده در اين فضــا، دو مجموعه درهم بافته را به خود اختصاص مي­دهند كه به آنها جــذب كننده­هاي عجيب گويند. بايد دانست كه جذب كننده­هاي عجيب با نقاط ثابت يا حلقه هاي محدود يكسان نيستند. در واقع جذب كننده عجيب، يك نقطه يا يك مسير در فضاي فــاز نيست و نمي تــوان به آن عنــوان يك سطح را داد، بلكه بايد آن را فراكتــال ناميد كه داراي بعد كسري بين 2 و 3 است. در پيش بيني رفتــار سيستــم در دراز مدت او نشــان داد كه به ازاي محــدوده وسيعي از پارامتــرهاي نگاشــت نمي­توان شاهد نقــاط ثابت پايدار يا حلقه­هاي محدود بود. لورنتس براي مطالعه سيستم خــود در طولاني مدت، از انتگرالهاي عــددي استفاده كرد. او حالت خاصي را با مقادير زير برگزيــد:

s = 10 , b = 8/3 , r = 28 .

با انتخاب نقطه­اي نزديك به مبدا: (0,1,0) به عنوان شرط اوليــه مطالعه خود را آغاز نموده و متوجه شد كه جوابهــا مخصوصا در t → ∞ داراي نوســانهاي غيريكســان است كه تكــرار نمي­شوند و به آنها غيرپريوديك مي­گويند. او كشف كرد كه اگر جوابهــا به صورت يك مسيــر در فضاي فاز تصور شوند ساختــار عجيبي تشكيل مي­دهنــد و با رسم نمــودار x(t) و z(t) در يك صفحه، مي­توان شاهد بود كه يك شكل پروانه­اي به دست مي­آيد (شكل اولي). اين شكل نه سطح و نه نقطه است و بُعد آن نيز كسري مي­باشد. ديده مي­شود كه مسيرها به طور مكرر همديگر را قطع مي­كنند، اما فقط در دو بعد بدين گونه است و در سه بُعد، مسيرها به هيچ وجه همديگر را قطع نمي­نمايند (شكل دومي).

 

 

3- مفاهيم اوليه در سيستمهاي ديناميكي غـيرخطي (1)

نگاشتــهاي تكــرار (Iterated maps):

از آنجا كه توصيف سيستمهاي ديناميكي گسسته در زمان با كمك نگاشتهاي تكرار صورت مي­پذيرد، در اين نوع سيستمها رابطه­اي به صورت x_n+1=F(x_n) مابين نقاطي كه سيستم انتخاب مي­كند وجود دارد كه اين نقاط با هم تشكيل يك مدار مي­دهند. بر اين اساس منظور از نگاشت، يك رابطه تابعي است از F : R → R كه R مجموعه­اي است از نقاط حقيقي كه به وسيله آن مدار O(x₀) از نقاطx₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهي از نقاط تعريف مي­شود: O(x₀)=(x₀, F²(x₀), F³(x₀),…) .

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن x_n = Fⁿ(x₀) ، به صورت معادله x_n+1 = F(x_n)  بيان مي­گردد. مي­توان نگاشتها را براساس خطي بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و ...) يا غيرخطي بودن (نگاشت لجستيك، نگاشت هنون (Henon) و ...) طبقه بندي كرد.

 

مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي:

وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مي­يابد، در هر مرحله پديده­هاي جديدي اتفاق مي­افتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقه­هاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار مي­گيرند_:

 

1-  نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت مي­توان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار مي­آيد: F(x^*) = x^* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق مي­توان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطه­اي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x)  به وجود مي­آيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x^*) = x^* بدين صورت عمل مي­شود:

x^* = r x^* (1 – x^*)                                                                 

با تعيين ريشه­هاي معادله مي­توان دريافت كه نقاط ثابت نگاشت لجستيك عبارتند از: x^* = 0 ,  x^* = 1 – (1/r) .

 

نقاط ثابت براساس پايداري آنها به چهار گروه تقسيم مي­شوند:

1.      اگر:|F'(x^*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x^* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است. اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مي­نامند.

2.      اگر:|F'(x^*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x^* ناپايدار(Unstable fixed point) است. به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز مي­گويند.

3.      اگر:|F'(x^*)| = 1 باشد گويند نقطه x^* ، نقطه ثابت حاشيه­اي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) مي­باشد.

4.      نقاطي كه در آنها شرط |F'(x^*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده مي­شوند.

 

2- دوشــاخه­ شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت مي­توانند خلق يا نابود شوند  يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته مي­شود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت مي­گيرد.

براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي مي­توان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:

 

 الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم مي­گردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطه­هاي زير تبعيت مي­كنند رخ مي­دهد: dx/dt = r + x² , dx/dt = r – x² .

نمودار براي معادله اول:

ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير مي­كند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت مي­كنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x²

ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول مي­باشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادله­اي به يكي از دو صورت زير است:

 

                a - حالت اول، دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x³ نشان داده مي­شود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا مي­باشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.

               b - حالت دوم، دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x³ مشخص مي­گردد.

 

 3- حلقــه­هاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقه­هاي محدود گفته مي­شود. مسيرهاي مجاور به حلقه­هاي محدود، يا به آنها ختم مي­شوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور مي­گردند كه آنها را ناپايدار مي­نامند و در شرايط خاصي نيز به حلقه­هاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته مي­شود. 

حلقه­هاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل مي­دهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان مي­كنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....

حلقه­هاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل مي­گيرند و نمي­توان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقه­هاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل مي­گيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.

معمولا مشخص كردن حلقه­هاي محدود وابسته به يك سيستم كار ساده­اي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقه­هاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطه­اي مانند رابطه dx/dt = -VV  تشكيل داد، نمي­توان شاهد تشكيل حلقه­هاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نمي­توان شاهد تشكيل حلقه­هاي محدود بود.

 

2- سيسـتمهاي ديناميكي

 از آنجا كه عنوان سيستمهاي ديناميكي به سيستمهايي داده مي­شود كه در گذر زمان دستخوش تحول مي­شوند، لذا يك سيستم ديناميكي را مي­توان توسط سه پارامتر زمان، حالتها(states) و قاعده­هايي كه بيانگر نحوه تحول اين سيستمهاست، شكل داد.

براي درك سيستم ديناميكي بايستي بر شرايط اوليه حاكم بر سيستم و شرايط مرزي آن احاطه داشت. اگر تعداد حالتها در حين تحول سيستم تغيير نكند، سيستم را بسته(Thermostated system) و در غير اين صورت، سيستم را باز(open system) در نظر مي­گيرند.

سيستمهاي ديناميكي را با توجه به رابطه­اي كه ميان پارامتر سرعت و موقعيت در آنها وجود دارد، به دو گروه تقسيم مي­نمايند:

1 - سيستمهاي ديناميكي خطي: سيستمهايي كه در آنها يك رابطه خطي ميان سرعت و موقعيت برقرار مي­شود، سيستمهاي خطي به شمار مي­آيند. تكامل تدريجي سيستمهاي ديناميكي خطي نيز فرآيندي خطي است. اگر دو جواب براي سيستم خطي داشته باشيم مجموع آنها نيز يك جواب براي سيستم است. هم چنين سيستمهاي خطي از اين قابليت برخوردار هستند كه آنها را مي­توان با تجزيه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسي قرار داده و سپس با جمع بندي نتايج، به تحليل كلي آنها اقدام كرد و اين از جمله مواردي است كه تحليل سيستمهاي خطي را آسان مي­سازد (مانند آناليز فوريه، مباحث برهم نهي و ...). در نهايت مي­توان گفت كه تجزيه و تحليل معادلات مربوط به اين سيستمها شناخته شده است. 

2- سيستمهاي ديناميكي غيرخطي: در سيستمهاي ديناميكي غيرخطي رابطه ميان سرعت و موقعيت غيرخطي مي­باشد. در چنين سيستمي اگر دو جواب داشته باشيم مجموع آنها جواب ديگر سيستم نمي­باشد. سيستم ديناميكي غيرخطي را نمي توان به اجزا كوچكتر تقسيم نموده و هر يك را جداگانه حل كرد، بلكه بايد كل سيستم را با هم و يكجا مطالعه و بررسي كرد (براي مثال، وقتي كه قسمتهايي از يك سيستم تداخل مي­كنند يا با هم كار مي­كنند يك برهمكنش غيرخطي اتفاق مي­افتد و اصل برهم نهي شكست مي­خورد). پس مي­توان گفت كه معادلات مربوط به تحول در اين سيستمها حل تحليلي ندارند و يا حل تحليلي آنها بسيار مشكل است. براي تجزيه و تحليل چنين معادلاتي، ديناميك غيرخطي كه در سه بعد منجر به آشوب مي­گردد مورد استفاده قرار مي­گيرد؛ از اينرو براي تحليل سيستمهاي غيرخطي آشنايي با يك سري مفاهيم اوليه مانند: نقاط ثابت(fixed points) و دو شاخه شدنها(bifurcations) (در يك بعد)، سيكلهاي محدود(limit cycles) (در دو بعد) و فراكتالها يعني اشكالي با ابعاد غير صحيح (در سه بعد) لازم است. اين مفاهيم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سيستمهاي ديناميكي غيرخطي را مي­توان به دو طريق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتي كه تحول در سيستم نسبت به زمان به صورت پيوسته باشد از معادله ديفرانسيل استفاده مي­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ ميرا يا معادله گرما؛ اما اگر سيستم به صورت گسسته با زمان تحول يابد، به عبارت ديگر در صورتي كه زمان به عنوان عامل جداگانه­اي در نظر گرفته شود سيستم در قالب نگاشتهاي تكرار(Iterated maps) مطالعه مي­گردد، مانند نگاشت لجستيك(Logistic map).

مطالعه سيستمهاي ديناميكي غيرخطي هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسياري از علوم از جمله در: فيزيك، نجوم، رياضيات، بيولوژي، شيمي، اقتصاد، علوم كامپيوتر، هواشناسي و علوم پزشكي مي­باشد.

فضاي فاز:

فضاي فاز با كمك مكان (x1) و سرعت (x2) رسم مي­گردد، لذا مي­توان گفت كه مجموعه جوابهايي به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر يك نقطه در حال حركت در روي منحني (يعني مسير(Trajectory) سيستم) در اين فضا (شكل زير) خواهند بود.

بايد دانست كه به ازاي شرايط اوليه متفاوت، فضاي فاز كاملا با مسيرها پوشانده شده لذا هر نقطه­اي را مي­توان به عنوان نقطه اوليه در نظر گرفت. هدف ما اين است كه عكس اين ساختار را طي كنيم يعني مسيرها را رسم كرده و بدين وسيله اطلاعات مربوط به جوابها را استخراج نماييم.

فضاي فاز مربوط به يك سيستم n ذره­اي فضايي است متشكل از 6n پايه­هاي مختصاتي كه 3n پايه آن مربوط به مكان و 3n پايه ديگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضاي فاز داراي 6n مختصه مي­باشد كه به تنهايي براي توصيف وضعيت سيستم كافي است. وجود ثوابت ابعاد فضاي فاز را كاهش مي­دهد. از حركت يك نقطه در فضاي فاز مسيرهاي فضاي فاز پديد مي­آيند. در حالت كلي، مجموعه مسيرهاي فضاي فاز حجمي 6n بعدي را در فضاي فاز اشغال مي­كنند. البته بايد دانست كه به دليل يكتايي حركت ذره كلاسيكي، مسيرها در فضاي فاز يكديگر را قطع نمي­كنند. در نتيجه مي­توان گفت كه فضاي فاز مجموعه­اي از حالات ممكن يك سيستم ديناميكي است. يك حالت ويژه و مشخص در فضاي فاز سيستم را به طور كامل مشخص مي­كند و اين تمام آن چيزي است كه در مورد شناخت كاملي از آينده نزديك سيستم مورد نظر، مورد نياز مي­باشد. به عنوان مثال، فضاي فاز يك آونگ، صفحه­اي دو بعدي شامل موقعيت (زاويه) و سرعت است و مطابق با قوانين نيوتن تعيين اين دو متغير به طور مجزا، حركت بعدي آونگ را در زمانهاي بعدي مشخص مي­كند.

حال اگر يك سيستم غيرمستقل وجود داشته باشد كه ميــدان برداري آن (يك معادله ديفــرانسيل به عنوان يك ميــدان برداري معرفي مي­شود) به طور صريح به زمــان بستگي داشته باشد، در آن صورت طبق تعــريف فضاي فــاز بايد زمان را به عنوان يك مختصه فضاي فــاز در نظــر گرفت زيرا براي تعيين حركت در زمان بعدي، يك زمان ويژه بايد معلوم باشد. مسيــر در فضاي فاز مي تواند به صورت يك مدار و يا يك منحني باشد در حالي كه در سيستمي كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت يك ســري از نقاط مي­باشد.

1- خلاصه­­­اي از علم دينـاميك

بررسي پيشــينه سيستمهاي دينــاميكي نشان مي­دهد كه مطالعه اين سيستمها از اواسط سالهاي 1600 ميلادي با كشف قوانيــن جاذبه و حركت و معرفي معادلات ديفرانسيــل توسط نيوتــن و توجيه قوانين كپلــر در مورد حركت سيــارات بر پايه آنها، شكل گرفته است. بدين ترتيب نيوتــن قادر به حل مسئله دو جسم (حركت زميــن به دور خورشيــد) گرديد و نتيجه ايــن بود كه نيروي جاذبه گرانشي متنــاسب با عكس مجذور فاصله بيــن آنها برقرار است.  تلاش رياضيــدانها و فيــزيكدانها براي تعميم مسئله به سه جسم (خورشيــد – زميــن – مــاه)، منجر به فهم اين نكتــه شد كه حل مسئله سه جسم اساسا غيرممكن است. تلاش براي يافتن پاسخ مسئله زماني به اوج خود رسيد كه پادشاه سوئد پاداش بزرگي براي سوالي كه مطرح نمود، تعيين كرد: «آيا منظومه شمسي پايدار است»؟ در اواخــر 1800 ميلادي شخصي به نام «هانــري پوانــكاره» (Hanry Poincare) با ديد جديدي به مسئله نگريست. او به جاي اين كه بخواهد مكان دقيق سيــارات را در تمام زمانها به دست آورد، مسئله پايداري يا ناپايداري سيستم خورشيدي را مورد توجه قرار داده و امكان بروز آشوب را مطــرح ساخت، اما متاسفانه تا اوايل قرن بيستم توجه چنداني به مسئله آشوب نشد. از جمله مسائلي كه آشوب را مورد توجه قرار داد نوسانگــرهاي غيرخطي و كاربرد آنها در فيــزيك و علوم مهنــدسي از جمله در: ليــزر، رادار، راديــو و ... بود.

با كشف كامپيوترهاي با سرعت بالا در اواخر دهه 1950 ميلادي، دانشمندان توانستند معادلاتي را حل نمايند كه قبل از آن ممكن نبود و لذا درك و آگاهي در مورد سيستمهاي غيرخطي افزايش يافت.

گام مهمي كه در اين زمينه برداشته شد، توسط «ادوارد لورنتــس» (Lorentz Edward) در 1963 ميلادي با معرفي حركت آشوبناك در جذب كننده­هاي عجيب صورت گرفت. در ادامه افراد ديگري آثار تجربي آشوب را در سيالها، اندركنشهاي شيميايي، مدارهاي الكتــرونيكي، نوسانگرهاي مكانيــكي و نيمه رساناها بررسي نمودند.

در دهه 1970 ميلادي دو شاخه ديگــر در ديناميــك معرفي شدند. يكي از آنها «فراكتــالها» بودند كه توسط «منــدل بــروت» ارائه شدند و شكلهاي گرافيكــي زيبــايي را شامل مي­شدنــد كه توسط كامپيوتــر به دست مي­آمد، ديگــري نيز توسط «وينفــري» ارائــه شد كه در حوزه بيــولوژي – ريــاضي كاربرد داشت. او نوسانگرهاي غيرخطي را در بيــولوژي به كار بــرد.

خلاصه­اي از كارهاي انجام گرفته در مورد آشوب در جدول زير ارائه شده است:

 

1666	Newton	§         اختراع محاسبات، توضيح حركت سيارات
1700	-	§         محاسبات مربوط به مكانيك كلاسيك
دهه 1800	-	§         مطالعات تحليلي در مورد حركت سيارات
دهه 1890	Hanry Poincare	§         معرفي آشوب
1950 – 1920	-	§         نوسانگرهاي غيرخطي در فيزيك و علوم مهندسي، اختراع راديو، رادار و ليزر
1960 – 1920	Birkhoff Kolmogorov Arnol’d Moser	§         رفتار پيچيده در مكانيك هاميلتوني
1963	Lorentz	§         جذب كننده­هاي عجيب
دهه 1970	Ruelle&Takens May Feigenbaum   Winfree Mandle - Brout	§         حركت گردابي و آشوب §         آشوب در نگاشت لجستيك §         ارتباط بين آشوب و گذارهاي فازي §         مطالعات تجربي در آشوب §         نوسانگرهاي غيرخطي در بيولوژي §         فراكتالها
دهه 1980	-	§         مطالعه آشوب، فراكتالها و نوسانگرها و كاربرد آنها